图像的Hu矩
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- 图像矩
我们希望能用很少的几个特征代表一个图形，这些特征不因图形在图像中所在的位置、旋转角度、缩放比例的改变而改变，也不应受光照、噪点等影响。经过计算机视觉多年的发展，已经发现了很多这样的特征， 不变矩就是其中一个。
统计学中的矩
图像的几何矩
将图像的像素坐标看作是二维随机变量，像素的灰度值看作是概率，就可以套用统计学中的矩作为图像的几何矩。
原点矩：\( M_{ij}=\sum_x \sum_y x^iy^jI(x,y) \)
中心矩：\( \mu_{ij}=\sum_x \sum_y (x-\hat x)^i(y-\hat y)^jI(x,y) \text{，其中}(\hat x, \hat y)\text{为图形的质心（重心）} \)
- 零阶矩 \( M_{00}=\sum_x \sum_y I(x, y) \text{，其中}I(x,y)\text{表示在}(x,y)\text{处的像素灰度值} \) 零阶矩计算的是所有像素灰度的总和，类比统计学中的概率总和
- 一阶矩 \( \begin{cases} M_{10}=\sum_x \sum_y xI(x, y) \\ M_{01}=\sum_x \sum_y yI(x, y) \end{cases} \) 一阶矩计算出图像横纵坐标的加权和，权值即为该坐标像素。若想将权值归一化到（0，1）的区间，则可以将每个像素灰度值除以灰度总和，这样一阶矩就类似统计学中的数学期望了，该期望值是横纵坐标轴的加权平均值。该坐标点即为图形的质心（重心）坐标： \( \begin{cases} x_c=M_{10} / M_{00} \\ y_c=M_{01} / M_{00} \end{cases} \)
- 二阶矩 \( \begin{cases} M_{20}=\sum_x \sum_y x^2I(x, y) \\ M_{02}=\sum_x \sum_y y^2I(x, y) \\ M_{11}=\sum_x \sum_y xyI(x,y) \end{cases} \) 类比上述统计学中的k阶原点矩
- 二阶中心矩 \( \begin{cases} \mu_{20}=\sum_x \sum_y (x-x_c)^2I(x, y) \\ \mu_{02}=\sum_x \sum_y (y-y_c)^2I(x, y) \end{cases} \) 即方差
Hu矩
中心距仅保证了平移不变性，若想要保证缩放不变性，则对中心矩归一化：
\( \mu_{ij}=\frac{\mu_{ij}}{\mu_{00}^{\frac {i+j}{2}}} \)
则 \( \mu_{ij} \) 就同时具有平移和缩放不变性，但仍没有旋转不变性。为了解决该问题，又创造了Hu矩
Hu矩利用二阶和三阶中心矩导出下面七个不变矩组，他们都能同时保证平移、缩放、旋转不变性：
OpenCV计算矩
函数 mouents() 用于计算几何矩（例如 \( m_{10}, m_{00} \) 等，由此可计算出质心），函数 HuMouents() 用于计算Hu矩。以下为七个不变矩的实际效果（为了便于比较，结果都使用 log 输出）：
| 类别 | logΦ1 | logΦ2 | logΦ3 | logΦ4 | logΦ5 | logΦ6 | logΦ7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
 | -0.73284477 | -4.03663788 | -4.60583091 | -5.82204057 | -11.43743258 | -8.5494323 | -11.0731733 |
 | -0.73314315 | -4.02402135 | -4.62038034 | -5.82720992 | -11.3825481 | -8.65752946 | -11.10418714 |
 | -0.73229518 | -3.39709868 | -4.64708003 | -5.97302626 | -11.42148953 | -9.28521013 | -11.44641411 |
 | -0.72623716 | -4.03247931 | -4.45534195 | -5.74960368 | -11.13747495 | -8.02235997 | -10.92001685 |
 | -0.75198887 | -3.55789031 | -4.66384774 | -6.11429439 | -11.75662738 | -7.90211745 | -11.58441757 |
 | -0.70095217 | -4.2838109 | -4.51830132 | -6.09603379 | -11.47543038 | -8.49974479 | -11.677337 |
 | -0.77450821 | -2.85846763 | -3.42606589 | -5.49647798 | -10.05068259 | -6.98278071 | -10.18685455 |
 | -0.74975294 | -2.59789974 | -3.01963955 | -4.70769731 | -8.6134227 | -6.04200389 | -8.9485131 |
 | -0.72068034 | -3.11899114 | -4.68006236 | -4.26810178 | -9.02706987 | -6.01694837 | -8.81031275 |
可以直接使用 matchShapes() 方法来对不两个图形Hu矩的差值，根据该差值可以判断是不是同一个图形。差值越小则越接近。
附：
