图像矩

图像的Hu矩

我们希望能用很少的几个特征代表一个图形，这些特征不因图形在图像中所在的位置、旋转角度、缩放比例的改变而改变，也不应受光照、噪点等影响。经过计算机视觉多年的发展，已经发现了很多这样的特征， 不变矩就是其中一个。

将图像的像素坐标看作是二维随机变量，像素的灰度值看作是概率，就可以套用统计学中的矩作为图像的几何矩。

原点矩：( M_{ij}=\sum_x \sum_y x^iy^jI(x,y)\ )

中心矩：( \mu_{ij}=\sum_x \sum_y (x-\hat x)^i(y-\hat y)^jI(x,y) \text ，其中(\hat x, \hat y)为图形的质心（重心）\ )

零阶矩 ( M_{00}=\sum_x \sum_y I(x, y) \text {，其中I(x,y)表示在(x,y)处的像素灰度值}\ ) 零阶矩计算的是所有像素灰度的总和，类比统计学中的概率总和
一阶矩 \( \\begin{cases} M\_{10}=\\sum\_x \\sum\_y xI(x, y) \\\\ M{01}=\\sum\_x \\sum\_y yI(x, y) \\end{cases}\\) 一阶矩计算出图像横纵坐标的加权和，权值即为该坐标像素。若想将权值归一化到（0，1）的区间，则可以将每个像素灰度值除以灰度总和，这样一阶矩就类似统计学中的数学期望了，该期望值是横纵坐标轴的加权平均值。该坐标点即为图形的质心（重心）坐标： \(\begin{cases} xc=M{10} / M_{00} \\ yc=M{01} / M_{00} \end{cases}\ )
二阶矩 ( \begin{cases} M_{20}=\sum_x \sum_y x^2I(x, y) \\ M{02}=\sum_x \sum_y y^2I(x, y) \\ M11=\sum_x \sum_y xyI(x,y) \end{cases}\ ) 类比上述统计学中的k阶原点矩
二阶中心矩 ( \begin{cases} \mu_{20}=\sum_x \sum_y (x-xc)^2I(x, y) \\ \mu{02}=\sum_x \sum_y (y-y_c)^2I(x, y) \end{cases}\ ) 即方差

中心距仅保证了平移不变性，若想要保证缩放不变性，则对中心矩归一化：